Question

20．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒后，△PCQ与△ABC相似？

Answer 1

分析 设x秒后，△PCQ与△ABC相似，根据题意设出AP，PC，CQ，分两种情况考虑：当∠CPQ=∠A，∠C=∠C=90°时，△CPQ∽△CAB；当∠CPQ=∠B，∠C=∠C=90°时，△CPQ∽△CBA；分别由相似得比例，求出x的值，即可得到结果．

解答 解：设x秒后，△PCQ与△ABC相似，
根据题意得：AP=2xm，PC=（50-2x）m，CQ=3xm，
分两种情况考虑：当∠CPQ=∠A，∠C=∠C=90°时，△CPQ∽△CAB，
此时有$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{50-2x}{50}$=$\frac{3x}{40}$，
解得：x=$\frac{200}{23}$，
当∠CPQ=∠B，∠C=∠C=90°时，△CPQ∽△CBA，
此时$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{50-2x}{40}$=$\frac{3x}{50}$，
解得：x=$\frac{125}{11}$，
则$\frac{200}{23}$秒或$\frac{125}{11}$秒时，△PCQ与△ABC相似．

点评 此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．