Question

9．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点P满足∠ABP=30°，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的性质得出∠1=∠BAC．再由∠1=∠2可知∠BAC=∠2，故可得出结论；
（2）先根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，再由PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP可得出∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，∠MGP=$\frac{1}{2}$∠DGP．根据平行线的性质得出∠1=∠DGP，∠NGP=∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，再利用等量代换即可得出结论．

解答 解：（1）AB∥CD．理由如下：
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠BAC．
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠2，
∴AB∥CD；

（2）如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，∠MGP=$\frac{1}{2}$∠DGP．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=$\frac{1}{2}$（∠BPG+∠B）．
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=$\frac{1}{2}$（∠BPG+∠B）-$\frac{1}{2}$∠BPG=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴②∠MGN的度数为15°不变．

点评 本题考查的是平行线的判定与性质，熟知内错角相等，两直线平行是解答此题的关键．