Question

6．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．
（1）求∠BDC的度数；
（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得出△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，进而可求出BDC的度数；
（2）根据四边形周长计算BC，CD，即可求△BCD的面积，正△ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形ABCD的面积为两个三角形的面积的和．

解答 解：（1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵∠ADC=150°
∴∠BDC=150°-60°=90°；
（2）∵△ABD为正三角形，AB=8cm，
∴其面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×AB×AD=16$\sqrt{3}$，
∵BC+CD=32-8-8=16，且BD=8，BD²+CD²=BC²，
解得BC=10，CD=6，
∴直角△BCD的面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
故四边形ABCD的面积为24+16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．