Question

18．如图，∠GDC+∠HBE=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）过点D作BC的垂线，垂足为M，求证：∠ABD=2∠CDM．

Answer 1

分析 （1）AE与CF平行，理由为：由邻补角定义及已知两角互补，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由AE与CF平行，得到一对同旁内角互补，根据∠DAE=∠BCF，等量代换得到另一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，利用两直线平行同位角相等即可求出所求角的度数；
（3）利用平行线的性质，邻补角的性质，等量代换即可得证．

解答 解：（1）AE∥CF，理由为：
∵∠GDF+∠GDC=180°，∠GDC+∠HBE=180°，
∴∠GDF=∠HBE，
∠ABG=∠HBE，
∴∠GDF=∠ABG，
∴AE∥CF；

（2）∵AE∥CF，
∴∠ABC+∠BCF=180°，
∵∠DAE=∠BCF，
∴∠ABC+∠DAE=180°，
∴AD∥BC；

（3）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠C，
∴∠CDM=90°-∠C=90°-∠ADF，
∵CD∥AB，
∴∠GDF=∠DBA=180°-2∠ADF，
∴∠ABD=2∠CDM．

点评 此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．