Question

2．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D在AC上，满足CD=$\frac{1}{2}$AD，动点F在直线BC上，且∠EDF=120°．

（1）当点E在线段AB上时，求证：∠DFE+∠ABC=90°；
（2）当点E在AB的延长线上时，设DE交BC于M，G为EF的中点，连接DG交直线BC于H，若CM=BE，请你探究线段DH和线段MF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得BD=2x，判断出∠ABD=∠A=30°，利用对角互补的四边形的四个顶点共圆，得出∠DFE=∠ABD，即可；
（2）利用相似三角形的性质找出比例式，由△CMD∽△NME，得出$\frac{CM}{CD}$=$\frac{MN}{NE}$，再通过计算即可．

解答 （1）证明：连接BD，设CD=x，则AD=2x，
∴BC=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{{BC}^{2}{+BD}^{2}}$=2x，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°
∵∠EDF=120°，∠ABC=60°，
∴点B，F，D，E四点共圆，
∴∠DFE=∠ABD=30°，
∴∠DFE+∠ABC=90°．
（2）如图2
∵∠FDE=120°，∠FBE=120°，
∴E，F，B，D四点共圆，
∴∠FED=∠CBD=30°，
∴∠DFE=30°，
∴DF=DE，
∵G是EF中点，
∴OG⊥EF，
令CD=1，AD=2，CM=x，
∴BM=$\sqrt{3}$-x，BE=CM=x，
作EN⊥BN，
∴BN=$\frac{1}{2}$x，NE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴MN=$\sqrt{3}$-x+$\frac{1}{2}$x，
∵△CMD∽△NME，
∴$\frac{CM}{CD}$=$\frac{MN}{NE}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{2}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{2}$x²=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$x，
∴x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴MN=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CM=CN，
∴M是CN的中点，
设HG=2，
∴FM=6$\sqrt{7}$，
∴$\frac{DH}{MF}=\frac{4}{6\sqrt{7}}$=$\frac{2}{3\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{21}$．

点评 本题是相似形中的综合题，涉及到的知识点主要有，有一角是30°直角三角形的性质；同圆中，同弧所对的圆周角相等，点B，F，D，E四点共圆，∠DFE=∠ABD；解本题的关键是构造相似三角形，本题的难点是如何作辅助线．