Question

Ⅰ、如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向点A运动，点D以2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．
（1）当时，证明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．
Ⅱ、（1）如图Ⅱ-1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；
（2）如图Ⅱ-2，已知l₁∥l₂，点E，F在l₁上，点G，H在l₂上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
（3）如图Ⅱ-3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．

Answer 1

Ⅰ、解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，=cos∠BOA=cos60°=，
而=，
∴=，
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA；

（2）当0＜t＜时，
在Rt△OCD中，CD=OD×sin60°=2t×=t，
∴S=×OC×CD=×t×t=t2；
当≤t＜5时（如图2）
过点D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×=（5-t），
S=×OC×HD=×t×（5-t）=t-t²；

（3）当DE∥OC时，△DBE是等边三角形．（如图3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=AC=，
∴BE+AE=（5-2t）+=5，
∴t=1，
因此AE==2．
过点E作EM⊥OA于M．
则EM=AE×sin60°=2×=，
AM=AE×cos60°=2×=1，OM=OA-AM=4．
∴点E的坐标为（4，）；
当CD∥OE时（如图4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等边三角形，
∴DE=BD-AB=，
∴2t-5=，
∴t=，
因此AE==，
∴E的纵坐标为×=，
横坐标为5-×=，
∴点E的坐标为（，）；
综上所述，点E的坐标为（4，）或（，）；

Ⅱ、（1）解：取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；

（2）证明：∵l₁∥l₂，
∴点E，F到l₂之间的距离都相等，设为h．
∴S_△EGH=GH•h，S_△FGH=GH•h，
∴S_△EGH=S_△FGH，
∴S_△EGH-S_△GOH=S_△FGH-S_△GOH，
∴△EGO的面积等于△FHO的面积；

（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．
分析：Ⅰ、（1）当0＜t＜时，点C不过OA中点，想证明垂直应先作出一条和CD有关的垂线，利用相似求解；
（2）应分当0＜t＜时，和≤t＜5时两种情况探讨，应用t表示利用特殊的三角函数表示出OC边上的高．进而表示出面积即可．
（3）以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，那么应根据（1）（2）中的两种类型的三角形，可分DE∥CO、CD∥OE两种情况进行探讨；
Ⅱ、（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；
（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；
（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．
点评：Ⅰ、是一道旋转与运动相结合的大题，并且联系函数与四边形知识，要注意这些知识点间的融会贯通．
Ⅱ、主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．