Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，6）．点P从点O开始沿x轴向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿y轴向点O以相同的速度移动，若P、Q同时出发，移动时间为t（s）（0＜t＜6）．
（1）当PQ∥AB时，求t的值．
（2）是否存在这样t的值，使得线段PQ将△AOB的面积分成1：5的两部分．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t=2时，试判断此时△POQ的外接圆与直线AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行得到相似三角形，然后根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得t值即可；
（2）假设存在．分当△OPQ的面积是△AOB的面积的$\frac{1}{6}$时和当△OPQ的面积是△AOB的面积的$\frac{5}{6}$时两种情况求得t值即可；
（3）设△POQ的外接圆的圆心为M，过点M，作MH⊥AB于H，利用面积法求得MH的长后与圆的半径比较即可得到位置关系．

解答 解：（1）∵PQ∥AB，
∴△POQ∽△AOB
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OQ}{OB}$，
即$\frac{t}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，
∴t=$\frac{24}{7}$；

（2）假设存在．
当△OPQ的面积是△AOB的面积的$\frac{1}{6}$时，$\frac{1}{2}$t（6-t）=$\frac{1}{2}$×6×8×$\frac{1}{6}$，
解之，t=2或t=4；
当△OPQ的面积是△AOB的面积的$\frac{5}{6}$时，$\frac{1}{2}$t（6-t）=$\frac{1}{2}$×6×8×$\frac{5}{6}$，
即t²-6t+40=0，
方程无解，此种情况不存在；
综上可知，当t=2或t=4时，线段PQ将△AOB的面积分成1：5的两部分．

（3）当t=2时，点P（2，0），Q（0，4）
设△POQ的外接圆的圆心为M，则点M的坐标是（1，2），PQ=2$\sqrt{5}$，
过点M，作MH⊥AB于H，连结AM，BM，OM
利用面积法，$\frac{1}{2}$×6×1+$\frac{1}{2}$×8×2+$\frac{1}{2}$×10×MH=$\frac{1}{2}$×6×8，
解之，MH=2.6，
∵2.6＞$\sqrt{5}$，
∴△POQ的外接圆与直线AB相离．

点评 本题考查了圆的综合知识及相似三角形的知识，解题的关键是能够将圆与相似三角形结合起来，（2）题能够分类讨论是本题的难点，应加强训练．