Question

4．已知，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AE、CF，求证：四边形AECF是菱形；
（2）求CF的长；
（3）如图2，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M自A→E→B→A停止，点N自C→D→F→C停止．在运动过程中，已知点M的速度为每秒10cm，点N的速度为每秒8cm．设运动时间为t秒，t为何值时，以A、M、C、N四点为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
（2）根据勾股定理即可求AF的长；
（3）动点M、N分别从A、C两点同时出发，只有当M、N分别位于BE和DF上时，以A、M、C、N四点为顶点的四边形才能是平行四边形，根据MC∥AN，当MC=AN时，四边形AMCN是平行四边形，因为四边形AECF是菱形，所以MC=10tcm，AN=16+8-8t=（24-8t）cm，即10t=24-8t，解得：t=$\frac{4}{3}$，即可解答．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF（AAS），
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形；
（2）设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（16-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=8cm，由勾股定理，得：
64+（16-x）²=x²，
解得：x=10，
∴AF=10；
（3）∵动点M、N分别从A、C两点同时出发，
∴只有当M、N分别位于BE和DF上时，以A、M、C、N四点为顶点的四边形才能是平行四边形，
∵MC∥AN，
∴当MC=AN时，四边形AMCN是平行四边形，
∵四边形AECF是菱形，
∴MC=10tcm，AN=16+8-8t=（24-8t）cm，
∴10t=24-8t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴当t=$\frac{4}{3}$时，四边形AMCN是平行四边形．

点评 本题考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．