Question

如图在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△AOB的面积是.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

     （4）在（2）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）由题意得:

∴B（－2，0）                                  

       （2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得，

∴                           

 

（3）存在点C.过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x= - 1交x轴于点E.当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小.

∵  △BCE∽△BAF,

                                              

（4）存在. 如图，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则

               ，

            ∴直线AB为，

 =  |OB||Y_P|+|OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|

               =.

∵S_△AOD= S_△AOB-S_△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.

∴==.  

 ∴x₁=-  , x₂=1(舍去).

∴p(-,-)  .

又∵S_△BOD =x+,

∴ == .

∴x₁=- ,    x₂=-2.

P(-2,0)，不符合题意.

∴ 存在，点P坐标是（-，-）.