Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD=m∠ACD．
（1）已知

1

m

=

2

m+2

，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？
（2）当

AP

PB

=

2- 3

2+ 3

时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由；
（3）在（1）的条件下，且

AP

PB

=

1

2

，求弦CD的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）解关系式得出m的值，再利用m求出角的关系进而求出∠BCD、∠ACD的度数．
（2）由所给关系式结合直径求出AP，OP，据使弦CD最短，求出∠BCD、∠ACD的度数，即可求出m的值．
（3）连结AD、BD，先求出AD，BD，AP，BP的长度，利用△APC∽△DPB和△CPB∽△APD得出比例关系式，利用比例关系式结合勾股定理求出CP，PD，即可求出CD．

解答：解：（1）由

1

m

=

2

m+2

，
解得 m=2，
如图1，连结AD、BD．

∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°
又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD
∴∠ACD=30°，∠BCD=60°                 
（2）如图2，连结OD．

∵

AP

PB

=

2- 3

2+ 3

，AB=4，
∴

AP

4-AP

=

2- 3

2+ 3

，则(2+

3

)AP=4(2-

3

)-(2-

3

)AP，
解得AP=2-

3

∴OP=2-AP=

3

要使CD最短，则CD⊥AB于P
∴cos∠POD=

OP

OD

=

3

2

，
∴∠POD=30°
∴∠ACD=15°，∠BCD=75°
∴∠BCD=5∠ACD
∴m=5，
故存在这样的m值，且m=5                             
（3）如图3，连结AD、BD．

由（1）可得∠ABD=∠ACD=30°，AB=4
∴AD=2，BD=2

3

，
∵

AP

PB

=

1

2

，
∴AP=

4

3

，BP=

8

3

，
∵∠APC=∠DPB，∠ACD=∠ABD
∴△APC∽△DPB
∴

AC

DB

=

AP

DP

=

PC

BP

，
∴AC•DP=AP•DB=

4

3

•2

3

=

8 3

3

①，
PC•DP=AP•BP=

2

3

•

8

3

=

16

9

②
同理△CPB∽△APD
∴

BP

DP

=

BC

AD

，
∴BC•DP=BP•AD=

8

3

•2=

16

3

③，
由①得AC=

8 3

3DP

，由③得BC=

16

3DP

∴AC：BC=

8 3

3

：

16

3

=

3

2

，
在△ABC中，AB=4，
∴(

8 3

3DP

)2+(

16

3DP

)2=42，
∴DP=

2 7

3

由②PC•DP=PC•

2 7

3

=

16

9

，得PC=

8 7

21

，
∴DC=CP+PD=

8 7

21

+

2 7

3

=

22 7

21

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是在圆中结合三角形相似得出比例关系式，运用比例关系式求出比段之间的关系．