Question

在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（-3，0），B（0，-3）两点，二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若二次函数y=x²+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；
（3）当-3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-4，求m，n的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）利用待定系数法求出解析式，
（2）先表示出二次函数y=x²+mx+n图象的顶点，利用直线AB列出式子，再与点A在二次函数上得到的式子组成方程组求得m，n的值，
（3）本题要分四种情况①当对称轴-3＜-

m

2

＜0时，②当对称轴-

m

2

＞0时，③当对称轴-

m

2

=0时，④当对称轴-

m

2

≤-3时，结合二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A得出的式子9-3m+n=0，求出m，n但一定要验证是否符合题意．

解答：解：（1）A（-3，0），B（0，-3）代入y=kx+b得

0=-3k+b -3=b

，解得

k=-1 b=-3

，
∴一次函数y=kx+b的解析式为：y=-x-3；

（2）二次函数y=x²+mx+n图象的顶点为（-

m

2

，

4n-m2

4

）
∵顶点在直线AB上，
∴

4n-m2

4

=

m

2

-3，
又∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A（-3，0），
∴9-3m+n=0，
∴组成方程组为

4n-m2 4 = m 2 -3 9-3m+n=0

解得

m=4 n=3

或

m=6 n=9

．

（3）∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．
∴9-3m+n=0，
∵当-3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-4，
①如图1，当对称轴-3＜-

m

2

＜0时

最小值为

4n-m2

4

=-4，与9-3m+n=0，组成方程组为

4n-m2 4 =-4 9-3m+n=0

解得

m=2 n=-3

或

m=10 n=21

（由-3＜-

m

2

＜0知不符合题意舍去）
所以

m=2 n=-3

．
②如图2，当对称轴-

m

2

＞0时，在-3≤x≤0时，x为0时有最小值为-4，

把（0，-4）代入y=x²+mx+n得n=-4，
把n=-4代入9-3m+n=0，得m=

5

3

．
∵-

m

2

＞0，
∴m＜-2，
∴此种情况不成立，
③当对称轴-

m

2

=0时，y=x²+mx+n的最小值为-4，
把（0，-4）代入y=x²+mx+n得n=-4，
把n=-4代入9-3m+n=0，得m=

5

3

．
∵-

m

2

=0，
∴m=0，
∴此种情况不成立，
④当对称轴-

m

2

≤-3时，最小值为0，不成立
综上所述m=2，n=-3．

点评：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是在讨论对称轴不同位置得出m，n的值时，要结合对称轴看结果是否符合题意．