Question

13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AD的中点，点F在AB上且AF=1，以EF、CF为边作平行四边形EFCG，连DG，则DG=$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 过G作GH⊥CD于H，由四边形EFCG是平行四边形，得到EF∥CG，由正方形的性质得到AB∥CD，推出∠EFC+∠FCD+∠DCG=∠AFE+∠EFC+∠FCD=180°，然后通过三角形全等证得AE=HG=2，CH=AF=1，从而得到结果．

解答 解；过G作GH⊥CD于H，
∵四边形EFCG是平行四边形，
∴EF∥CG，∵AB∥CD，
∴∠EFC+∠FCD+∠DCG=∠AFE+∠EFC+∠FCD=180°，
∴∠AFE=∠HCG，
在△AEF与△CHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠GHC=90°}\\{∠AFE=∠HCG}\\{EF=CG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CHG，
∴AE=HG=2，CH=AF=1，
∴DH=3，
∴DG=$\sqrt{{3}^{3}{+2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．