Question

5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEF=60°，求证：AE=EF．

Answer 1

分析 作EG∥AB于G，则∠GEC=∠B=60°，先证明△ABC是等边三角形，∠BCF=120°，得出∠ACB=60°，再证明△GEC是等边三角形，得出EG=EC，∠EGC=60°，得出∠EAG=120°，证出∠1=∠2，由ASA证明△AEG≌△FEC，得出对应边相等即可．

解答 解：作EG∥AB于G，如图所示：
则∠GEC=∠B=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACD，
∴△ABC是等边三角形，∠BCF=120°，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠GEC=60°，
∴△GEC是等边三角形，
∴EG=EC，∠EGC=60°，
∴∠EAG=120°，
∵∠AEF=60°=∠GEC，
∴∠1=∠2，
在△AEG和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{EG=EC}&{\;}\\{∠EGA=∠ECF=120°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FEC（ASA），
∴AE=EF．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．