Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE=10，sinA= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线

（2）解：连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等边三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF= ∠AOF=30°

（3）连接OF，AF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF=OA，

过点O作OG⊥AB于点G，得到AG=BG，

在Rt△AOG中，sinA= = ，

设DE=5x，则AE=13x，AD=12x，AO=24x，

∵BE=10，∴AB=10+13x．

则AG= AB=5+ x，

又∵直角△AOG中，sin∠BAO= ，则 = ，

则 =

解得x= ，

∴AO=24x=

【解析】（1）证切线须连半径，再证垂直；（2）利用AD是半径的一半，得出△OAF是等边三角形，再由圆周角定理得出∠ABF= ∠AOF=30°；（3）设出未知数DE=5x,△AOG中,利用sin∠BAO的正弦定义列出方程，求出x.

【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和切线的判定定理，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能得出正确答案．