Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正确的有（ ）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

Answer 1

【答案】C
【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE= AB，

∵AD= AB，

∴AE=AD，

在△ABE和△AHD中，

，

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠CED，故①正确；

∵AB=AH，

∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），

∴∠OHE=67.5°=∠AED，

∴OE=OH，

∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，

∴∠DHO=∠ODH，

∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正确；

∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在△BEH和△HDF中，

，

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH=HF，HE=DF，故③正确；

∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，

∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；

∵AB=AH，∠BAE=45°，

∴△ABH不是等边三角形，

∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故⑤错误；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个．

所以答案是：C．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用角平分线的性质定理和矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．