Question

2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=DE，AC与BD相交于点E，∠ADB=60°，且BE：ED=3：1，BD=12，求梯形ABCD的周长．

Answer 1

分析 根据已知条件得到DE=3，BE=9，再判定△ADE是等边三角形，△BCE是等边三角形，得到AD=AE=DE=3，BC=BE=9，然后过A作AH⊥BD于H，通过解直角三角形得到HE，AH的长，再根据勾股定理，即可得出AB，CD的长，最后计算梯形ABCD的周长．

解答 解：∵BE：ED=3：1，BD=12，
∴DE=3，BE=9，
∵在梯形ABCD中，AE=DE，∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，AD=AE=DE=3，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠ECB=60°=∠BEC，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE=BE=9=BC，
∴CE+AE=BE+DE，即AC=DB，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，
过A作AH⊥BD于H，则∠DAH=30°，
∴DH=$\frac{3}{2}$=HE，AH=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴BH=BE+HE=9+$\frac{3}{2}$=$\frac{21}{2}$，
∴Rt△ABH中，AB=$\sqrt{B{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{21}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{117}$，
∴CD=$\sqrt{117}$，
∴梯形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=3+9+2$\sqrt{117}$=12+2$\sqrt{117}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理求得线段的长．