Question

7．如图，已知⊙C的圆心在x轴上，且进过A（1，0），B（-3，0）两点，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过A、B两点，顶点为P．
（1）求抛物线与y轴的交点D的坐标（用a的代数式表示）；
（2）当a为何值时，直线PD与⊙C相切？
（3）连结PB、PD、BD．当a=1时，求∠BPD的正切值．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x-1）（x+3），然后求x=0时的函数值即可得到D点坐标；
（2）直线PD交x轴于E，作CH⊥PD于H，如图，利用抛物线和圆的对称性得到C点坐标为（-1，0），P（-1，-4a），再利用待定系数法求出直线PD的解析式为y=ax-3a，则E（3，0），根据切线的判定方法，当CH=2时，直线PD与⊙C相切，利用面积法得到2$\sqrt{16+16{a}^{2}}$=4a•4，然后解方程可求出a的值；
（3）当a=1时，P（-1，-4），D（0，-3），先利用两点间的距离公式计算出PD=$\sqrt{2}$，BD=3$\sqrt{2}$，BP=2$\sqrt{5}$，再利用勾股定理的逆定理证明△BPD为直角三角形，∠BPD=90°，然后利用正切的定义求解．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+3），
即y=ax²+2xa-3a，
当x=0时，y=ax²+2xa-3a=-3a，
所以抛物线与y轴的交点D的坐标为（0，-3a）；
（2）直线PD交x轴于E，作CH⊥PD于H，如图，
∵AB为直径，
∴C点坐标为（-1，0），抛物线的对称轴经过点C，
∴P（-1，-4a）；
设直线PD的解析式为y=mx+n，
把P（-1，-4a），D（0，-3a）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=-4a}\\{n=-3a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=a}\\{n=-3a}\end{array}\right.$，
∴直线PD的解析式为y=ax-3a，
当y=0时，ax-3a=0，解得x=3，则E（3，0），
当点C到PD的距离等于圆的半径时，直线PD与⊙C相切，
即CH=2，
∵PC=4a，CE=4，
∴PE=$\sqrt{{4}^{2}+（4a）^{2}}$，
∵$\frac{1}{2}$CH•PE=$\frac{1}{2}$CP•CE，
∴2$\sqrt{16+16{a}^{2}}$=4a•4，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴当a为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，直线PD与⊙C相切；
（3）当a=1时，P（-1，-4），D（0，-3），
而B（-3，0），
∴PD=$\sqrt{{1}^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{（-1+3）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵（$\sqrt{2}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=（2$\sqrt{5}$）²，
∴PD²+BD²=BP²，
∴△BPD为直角三角形，∠BPD=90°，
∴tan∠BPD=$\frac{BD}{PD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、切线的判定定理和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；会运用勾股定理和两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质．