Question

如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB=4，∠C=60°，求图中阴影部分的面积之和．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接AE，则可以证得AE是BC的垂直平分线，则AB=AC，从而证得△ABC是等腰三角形；
（2）易证△ABC和△AOD、△OBD、△ODE、△OBE都是等边三角形，则弧BE与弦BE围成的弓形的面积与弧DE和弦DE围成的弓形的面积相等，则阴影部分的面积之和=S_△ABC-S_△AOD-S_△OBD-S_△OED，据此即可求解．

解答：解：（1）连接AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵点E为BC的中点，
∴AB=AC，
故△ABC是等腰三角形；

 （2）连接OE，OD．
∵△ABC是等腰三角形，且∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形．
则△OBE和△AOD也是等边三角形．
∴S_△ABC=

3 ×42

4

=4

3

，S_△AOD=S_△OBD=S_△OED=

3 ×22

4

=

3

．
∴阴影部分的面积之和=S_△ABC-S_△AOD-S_△OBD-S_△OED=

3

．

点评：本题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定，正确理解弧BE与弦BE围成的弓形的面积与弧DE和弦DE围成的弓形的面积相等是关键．