Question

19．已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k≠$\frac{1}{2}$且k≠0；
（2）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（2k+1）²-4k×2＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）分k=0，为一元一次方程；k≠0，利用根的判别式整理得出答案即可．

解答 （1）解：∵关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²＞0，
∴k≠$\frac{1}{2}$且k≠0．
（2）证明：∵当k=0，为x+2=0一元一次方程，解为x=-2；
当k≠0，△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．