Question

7．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB=30米，AD=20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．
（1）DQ=10米时，求△APQ的面积．
（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．

Answer 1

分析 （1）由DC∥AP，得到$\frac{QD}{AQ}$=$\frac{CD}{AP}$，代入数据求得AP=90，于是得到结论；
（2）设DQ=x米，则AQ=x+20，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{QD}{QA}$=$\frac{DC}{AP}$，得到方程$\frac{x}{x+20}$=$\frac{30}{AP}$，求出AP=$\frac{30（x+20）}{x}$，解一元二次方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵DC∥AP，
∴$\frac{QD}{AQ}$=$\frac{CD}{AP}$，
∴$\frac{10}{30}$=$\frac{30}{AP}$，
∴AP=90，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AQ•AP=1350米²；

（2）设DQ=x米，则AQ=x+20，
∵DC∥AP，
∴$\frac{QD}{QA}$=$\frac{DC}{AP}$，
∴$\frac{x}{x+20}$=$\frac{30}{AP}$，
∴AP=$\frac{30（x+20）}{x}$，
由题意得 $\frac{1}{2}$×$\frac{30（x+20）}{x}$×（x+20）=1600，
化简得3x²-200 x+1200=0，
解x=60或$\frac{20}{3}$．
经检验：x=60或$\frac{20}{3}$是原方程的根，
∴DQ的长应设计为60或$\frac{20}{3}$米．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．