Question

12．如图，已知A，B，C是半径为1的⊙O上三点，且四边形AOBC是平行四边形，则弦AB的长是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，连接CO交AB于点E，在圆O上取一点D，连接AD、BD．由“平行四边形的对角相等”推知∠AOB=∠C；然后根据“圆内接四边形的对角互补”求得∠D+∠C=180°；最后由圆周角定理、等量代换求得∠AOB+$\frac{1}{2}$∠AOB=180°．

解答 解：如图，连接CO交AB于点E，在圆O上取一点D，连接AD、BD．
∵四边形AOBC是平行四边形，OA=OB，
∴平行四边形AOBC为菱形，
∴AB⊥OC．
∵OC是半径，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB．
又∵∠D=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠ACB+∠D=180°，
∴∠AOB+$\frac{1}{2}$∠AOB=180°，
∴∠AOB=120°，
∴∠BOE=60°，
在Rt△BOE中，BE=OB•sin60°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则AB=2BE=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质，垂径定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．