[问题情境]如图1.P是⊙O外的一点.直线PO分别交⊙O于点A.B小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段.他是这样考虑的:在⊙O上任意取一个不同于点A的点C.连接OC.CP.则有OP＜OC+PC.即OP-OC＜PC.由OA=OC得OP-OA＜PC.即PA＜PC.从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段小红认为在图1中.线段PB是点P到⊙O上各� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．【问题情境】
如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B
小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP，则有OP＜OC+PC，即OP-OC＜PC，由OA=OC得OP-OA＜PC，即PA＜PC，从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段
小红认为在图1中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由

【直接运用】
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是$\sqrt{5}$-1
【构造运用】
如图4，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值
解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H（请继续完成本题的后续解题过程）

【深度运用】
如图6，△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，则线段BM长的最小值和最大值分别是2$\sqrt{3}$-2和2$\sqrt{3}$+2．

分析【问题情境】根据“三角形的两边之和大于第三边”进行证明；
【直接运用】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P₂，在半圆上取P₁，连接AP₁，EP₁，可见，AP₁+EP₁＞AE，即AP₂是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可；
【构造运用】根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可；
【深度运用】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．

解答解：【问题情境】如答图1，在圆O上任意取一个不同于点B的点C，连接OC、OP．
则有OP+OC＞PC．
由OB=OC得到：OP+OB＞PC，即PB＞PC．
从而得出线段PB是点P到圆O上各点的距离中最长的线段；

【直接运用】如答图2，找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P₂，在半圆上取P₁，连接AP₁，EP₁，
可见，AP₁+EP₁＞AE，
即AP₂是AP的最小值，
∵AE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，P₂E=1，
∴AP₂=$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$\sqrt{5}$-1．

【构造运用】如答图3所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MH⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=60°，
∴∠HMD=30°，
∴HD=$\frac{1}{2}$MD=1，
∴HM=DM×cos30°=$\sqrt{3}$，
∴MC=$\sqrt{H{M}^{2}+C{M}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴A′C=MC-MA′=2$\sqrt{7}$-2；

【深度运用】设AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如答图4．
∵△ABC，△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC，$\frac{DA}{DC}$=$\frac{DG}{DF}$，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．

①根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}$AC=2，
则BM=BO-OM=2$\sqrt{3}$-2．
②根据两点之间线段最短可得：BM≤BO+OM，当M在线段BO延长线与该圆的交点处时，线段BM最长，
此时，BO=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}$AC=2，
则BM=BO+OM=2$\sqrt{3}$+2．
故答案是：2$\sqrt{3}$-2；2$\sqrt{3}$+2．

点评本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系及圆的性质，【构造运用】中确定出DH最小时点H的位置是解题关键，【深度运用】中求出动点M的运动轨迹是解题的关键．

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（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．