Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点．

（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．若B1E：B1F=1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=4，OC=2，

∴点B的坐标为（4，2）；

②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D，

∵BQ：BP=1：2，点B关于PQ的对称点为B1，

∴B1Q：B1P=1：2，

∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°，

∴∠PB1D=∠B1QA，

∴△PB1D∽△B1QA，

∴ ，

∴B1A=1，

∴OB1=3，即点B1（3，0）

（2）

解：∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，

∴∠OAC=30°，

∴点C（1， ），

∵B1E：B1F=1：3，

∴点B1不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，

①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，

B1E：B1F=1：3，

∴B1G=m，

设OG=a，

则GF= ，OF= ，

∴CF= ，

∴EF= ，B1E= ，

∴B1G=B1E+EF+FG= ，

∴a= ，即B1的纵坐标为 ，

m的取值范围是 ；

②当点B1在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，

B1E：B1F=1：3，

∴B1G=m，

设OG=a，

则GF= ，OF= ，

∴CF= ，

∴FE= ，B1F= ，

∴B1G=B1F+FG= ，

∴a= ，即点B1的纵坐标为 ，

故m的取值范围是

【解析】（1）①根据OA=4，OC=2，可得点B的坐标；②利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标；（2）根据平行四边形的性质，且分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析解答．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．