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【题目】如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,EAB上一点,过点EEF∥AD,与ACDC分别交于点GFHCG的中点,连接DEEHDHFH.下列结论:

EG=DF②∠AEH+ADH=180 ③△EHF≌△DHC;④若,则3SEDH=13SDHC,其中结论正确的有___________

【答案】①②③④

【解析】①∵四边形ABCD为正方形,EFAD

EF=AD=CDACD=45°GFC=90°

∴△CFG为等腰直角三角形,

GF=FC

EG=EF-GFDF=CD-FC

EG=DF,故①正确;

②∵△CFG为等腰直角三角形,HCG的中点,

FH=CHGFH=GFC=45°=HCD

EHFDHC中,

EF=CD

EFH=DCH

FH=CH

∴△EHF≌△DHC(SAS),

∴∠HEF=HDC

∴∠AEH+ADH=AEF+HEF+ADF-HDC=AEF+ADF=180°,故②正确;

③∵△CFG为等腰直角三角形,HCG的中点,

FH=CHGFH=GFC=45°=HCD

EHFDHC中,

EF=CD

EFH=DCH

H=CH

∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确;

④∵AEAB=23

AE=2BE

∵△CFG为等腰直角三角形,HCG的中点,

FH=GH,FHG=90°

∵∠EGH=FHG+HFG=90°+HFG=HFD

EGHDFH中,

ED=DF,

EGH=HFD,

GH=FH

∴△EGH≌△DFH(SAS),

∴∠EHG=DHFEH=DHDHE=EHG+DHG=DHF+DHG=FHG=90°

∴△EHD为等腰直角三角形,

H点作HM垂直于CDM点,如图所示:

HM=x,则DM=5xDH=xCD=6x

SDHC=×HM×CD=3x2SEDH=×DH2=13x2

3SEDH=13SDHC,故④正确;

故答案为:①②③④

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