Question

【题目】如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，弧CD=弧CE.

（1）求证：OA=OB；

（2）已知∠A=30°，OA=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO＝90°，由于，所以∠AOC＝∠BOC，从而可证明∠A＝∠B，从而可知OA＝OB；

（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，由∠A=30°，OA=4，得到OC，BC的长，∠COB的度数，再由阴影面积=△OCB的面积－扇形OCE的面积，计算即可得出结论．

（1）连接OC．

∵AB与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°．

∵，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠A＝∠B，∴OA＝OB；

（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形．

∵∠A=30°，OA=4，∴OC=2，BC=AC=2，∠AOC=60°，∴∠COB＝60°，∴S阴影＝△OCB的面积－扇形OCE的面积=：2－=2π．