Question

9．在?ABCD中，过D作DM⊥AB于点M，点N在边CD上，DN=BM，连结AN，BN．
（1）求证：四边形BNDM是矩形；
（2）若CN=3，BN=4，DN=5，求证：AN平分∠DAB．

Answer 1

分析 （1）先根据一组对边平行且相等证明四边形BNDM是平行四边形，再证明∠DMB=90度，进而证明是矩形；
（2）由矩形的性质得：△BNC是直角三角形，利用勾股定理得BC=5，则AD=5，所以AD=DN，由等边对等角和平行线的性质得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴DN∥BM，
∵DN=BM，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵DM⊥AB，
∴∠DMB=90°，
∴四边形BNDM是矩形；

（2）由（1）得：四边形BNDM是矩形；
∴∠DNB=90°，
∴∠BNC=90°，
∵CN=3    BN=4，
∴BC=5，
∴BC=AD=5，
∵DN=5，
∴DN=AD，
∴∠DAN=∠DNA，
∵DC∥AB，
∴∠DNA=∠NAB，
∴∠DAN=∠DNA=∠NAB，
∴AN平分∠DAB．

点评 本题考查了矩形的性质和判定、平行四边形的性质、等腰三角形及平行线的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的判定是关键：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．