Question

【题目】如图（1），已知点在止方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为．

（1）求证：四边形是正方形并直接写出的值．

（2）将正方形绕点顺时针方向旋转，如图（2）所小，试探究与之间的数量关系，并说明理由．

（3）正方形在旋转过程中，当，，，三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长交于点．若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析， ；（2）线段与之间的数量关系为，理由详见解析；（3）．

【解析】

（1）由、结合可得四边形是矩形，再由即可得证；

（2）由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；连接，只需证即可得；

（3）证得，设，知，由得、、，由可得的值．

（1）四边形是正方形，

，，

、，

，

四边形是矩形，，

，

四边形是正方形；

（2）②由①知四边形是正方形，

，，

，，

，

如图，连接，

由旋转性质知，

在和中，

、，

，

，

，

线段与之间的数量关系为；

（3），点、、三点共线，

，

，

，

，

，

，

．

设，则，则由得，

，

则，，

得，

解得：，即．