【题目】已知△ABD与△GDF都是等腰直角三角形,BD与DF均为斜边(BD<DF).
(1)如图1,B,D,F在同一直线上,过F作MF⊥GF于点F,取MF=AB,连结AM交BF于点H,连结GA,GM.
①求证:AH=HM;
②请判断△GAM的形状,并给予证明;
③请用等式表示线段AM,BD,DF的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,GD⊥BD,连结BF,取BF的中点H,连结AH并延长交DF于点M,请用等式直接写出线段AM,BD,DF的数量关系.
【答案】(1)①详见解析;②详见解析;(2)AM2=BD2+DF2﹣ DFBD.
【解析】
(1)①易证∠ABD=∠HFM=45°,从而根据“AAS”可证△AHB≌△MHF,由全等三角形的对应边相等可得AH=HM;
②根据“SAS”可证△GAD≌△GMF,从而AG=GM,∠AGD=∠MGF,进而可证∠AGM=90°,所以△GAM是等腰直角三角形;
③根据勾股定理即可得出线段AM,BD,DF的数量关系;
(2)易证∠ADM=90°,根据“AAS”可证△ABH≌△HFM,从而FM=AB,然后根据AM2=AD2+DM2整理即可.
(1)①证明:如图1,∵MF⊥GF,
∴∠GFM=90°,
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形,
∴∠DFG=∠ABD=45°,
∴∠HFM=90°﹣45°=45°,
∴∠ABD=∠HFM,
∵AB=MF,∠AHB=∠MHF,
∴△AHB≌△MHF,
∴AH=HM;
②如图1,△GAM是等腰直角三角形,理由是:
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形,
∴AB=AD,DG=FG,
∠ADB=∠GDF=45°,
∴∠ADG=∠GFM=90°,
∵AB=FM,
∴AD=FM,
∴△GAD≌△GMF,
∴AG=GM,∠AGD=∠MGF,
∴∠ADG+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°,
∴△GAM是等腰直角三角形;
③如图1,AM2=BD2+DF2,理由是:
∵△AGM是等腰直角三角形,
∴AM2=2MG2,
Rt△GMF中,MG2=FG2+FM2=AB2+FG2,
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形,
∴AB=,FG=,
∴AM2=2MG2=2(+)=BD2+DF2;
(2)如图2,∵GD⊥BD,∠ADB=45°,
∴∠ADG=45°,
∴∠ADM=45°+45°=90°,
∵∠HMF=∠ADM+∠DAM=90°+∠DAM=∠BAH,
∵H是BF的中点,
∴BH=HF,
∵∠AHB=∠MHF,
∴△ABH≌△HFM,
∴FM=AB,
在Rt△ADM中,由勾股定理得:AM2=AD2+DM2,
=AD2+(DF﹣FM)2,
=AD2+DF2﹣2DFFM+FM2,
=BD2+DF2﹣2DF,
=BD2+DF2﹣DFBD.
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【题目】在平面直角坐标系中,点的坐标为.
(1)如图1,若点的坐标为,是等腰直角三角形,,,求点坐标;
(2)如图2,若点是的中点,求证:;
(3)如图3,是等腰直角三角形,,,是等边三角形,连接,若,求点坐标.
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【题目】如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点,连接AE,作AF⊥AE且AF=AE.
(1)如图1,过F点作FD⊥AC交AC于D点,求证:EC+CD=DF;
(2)如图2,连接BF交AC于G点,若 =3,求证:E点为BC中点;
(3)当E点在射线CB上,连接BF与直线AC交于G点,若,则=_______
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【题目】如图:已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长.
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【题目】二次函数y=(m+1)x2﹣2(m+1)x﹣m+3.
(1)求该二次函数的对称轴;
(2)过动点C(0,n)作直线l⊥y轴,当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n关于m的函数表达式;
(3)若对于每一个给定的x值,它所对应的函数值都不大于6,求整数m.
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【题目】如图,若点M是y轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥x轴,分别交函数y=(x<0)和y=(x>0)的图象于点P和Q,连接OP和OQ.以下列结论:
①∠POQ不可能等于90°;
②;
③这两个函数的图象一定关于y轴对称;
④若S△POM=S△QOM,则k1+k2=0;
⑤△POQ的面积是(|k1|+|k2|).
其中正确的有_____(填写序号).
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【题目】如图所示,已知矩形ABOC中,AC=4,双曲线y=与矩形两边AB、AC分别交于D、E,E为AC边中点.
(1)求点E的坐标;
(2)点P是线段OB上的一个动点,是否存在点P,使∠DPC=90°?若存在,求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点M,N同时从点B出发,分别在BC,BA上运动,若点M的运动速度是每秒2个单位长度,且是点N运动速度的2倍,当其中一个点到达终点时,停止一切运动.以MN为对称轴作△MNB的对称图形△MNB1.点B1恰好在AD上的时间为______秒.在整个运动过程中,△MNB1与矩形ABCD重叠部分面积的最大值为______.
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