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【题目】已知△ABD△GDF都是等腰直角三角形,BDDF均为斜边(BD<DF).

(1)如图1,B,D,F在同一直线上,过FMF⊥GF于点F,取MF=AB,连结AMBF于点H,连结GA,GM.

求证:AH=HM;

请判断△GAM的形状,并给予证明;

请用等式表示线段AM,BD,DF的数量关系,并说明理由.

(2)如图2,GD⊥BD,连结BF,取BF的中点H,连结AH并延长交DF于点M,请用等式直接写出线段AM,BD,DF的数量关系.

【答案】(1)①详见解析;②详见解析;(2)AM2=BD2+DF2 DFBD.

【解析】

(1)①易证∠ABD=∠HFM=45°,从而根据“AAS”可证AHB≌△MHF,由全等三角形的对应边相等可得AH=HM

②根据“SAS”可证GAD≌△GMF,从而AG=GM,∠AGD=∠MGF,进而可证∠AGM=90°,所以GAM是等腰直角三角形

③根据勾股定理即可得出线段AMBDDF的数量关系;

(2)易证ADM=90°,根据“AAS”可证ABH≌△HFM,从而FM=AB,然后根据AM2=AD2+DM2整理即可.

(1)①证明:如图1,∵MF⊥GF,

∴∠GFM=90°,

∵△ABD△GDF都是等腰直角三角形,

∴∠DFG=∠ABD=45°,

∴∠HFM=90°﹣45°=45°,

∴∠ABD=∠HFM,

∵AB=MF,∠AHB=∠MHF,

∴△AHB≌△MHF,

∴AH=HM;

如图1,△GAM是等腰直角三角形,理由是:

∵△ABD△GDF都是等腰直角三角形,

∴AB=AD,DG=FG,

∠ADB=∠GDF=45°,

∴∠ADG=∠GFM=90°,

∵AB=FM,

∴AD=FM,

∴△GAD≌△GMF,

∴AG=GM,∠AGD=∠MGF,

∴∠ADG+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°,

∴△GAM是等腰直角三角形;

如图1,AM2=BD2+DF2,理由是:

∵△AGM是等腰直角三角形,

∴AM2=2MG2

Rt△GMF中,MG2=FG2+FM2=AB2+FG2

∵△ABD△GDF都是等腰直角三角形,

∴AB=,FG=

∴AM2=2MG2=2(+)=BD2+DF2

(2)如图2,∵GD⊥BD,∠ADB=45°,

∴∠ADG=45°,

∴∠ADM=45°+45°=90°,

∵∠HMF=∠ADM+∠DAM=90°+∠DAM=∠BAH,

∵HBF的中点,

∴BH=HF,

∵∠AHB=∠MHF,

∴△ABH≌△HFM,

∴FM=AB,

Rt△ADM中,由勾股定理得:AM2=AD2+DM2

=AD2+(DF﹣FM)2

=AD2+DF2﹣2DFFM+FM2

=BD2+DF2﹣2DF

=BD2+DF2DFBD.

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