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【题目】如图所示,已知矩形ABOC中,AC=4,双曲线y=与矩形两边AB、AC分别交于D、E,E为AC边中点.

(1)求点E的坐标;

(2)点P是线段OB上的一个动点,是否存在点P,使DPC=90°?若存在,求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)点E的坐标为(2,3);(2)不存在点P,使∠DPC=90°

【解析】分析:(1)根据矩形的性质求出点E的横坐标为2,代入反比例函数解析式计算,求出点E的坐标;

(2)设点P的坐标为(a,0),证明COP∽△PBD,根据相似三角形的性质列出方程,根据一元二次方程根的判别式解答.

详解:(1)矩形ABOC中,AC=4,EAC边中点,

CE=2,即点E的横坐标为2,

∵点E在双曲线y=上,

y==3,

∴点E的坐标为(2,3);

(2)不存在点P,使∠DPC=90°,

理由如下:设点P的坐标为(a,0),

OP=a,PB=4﹣a,

由题意可知,点D的横坐标为4,

则纵坐标为:y==,即BD=

∵∠COP=CPD=PBD=90°,

∴△COP∽△PBD,

=,即

整理得,a2﹣4a+=0,

=16﹣18<0,

∴方程无实根,

∴不存在点P,使∠DPC=90°.

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