Question

如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，1），（3，0），（2，2）
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，2），试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下是否存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将S_△ABC转化为S_梯形DOBC-S_△DAC-S_△OAB，再分别计算；
（2）将S_{四边形ABOP}转化为S_△PAO+S_△OAB，即可即可计算；
（3）先假设存在点P（a，2），使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，令0.5a+1.5=5，若能计算出a，则存在点P，若不能计算出a，则点P不存在．

解答：解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，
∵A，B，C三点的坐标分别为（0，1），（3，0），（2，2），
∴OA=1，OB=3，CD=2，OD=2，
∴S_△ABC=S_梯形DOBC-S_△DAC-S_△OAB=

(2+3)×2

2

-

2×1

2

-

3×1

2

=

10-2-3

2

=2.5；

（2）S_{四边形ABOP}=S_△PAO+S_△OAB=

1×(-a)

2

+

3×1

2

=

3-a

2

；

（3）当

3-a

2

=2.5时，a=-2，
故存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，
P点坐标为（-2，2）．

点评：此题考查了坐标与图形的性质，画出图形，利用坐标求出相应线段的长是解题的关键．