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【题目】如图,RtABC中,ABC=90°,以AB为直径作半圆O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.

(1)求证:DE是半圆O的切线.

(2)若BAC=30°,DE=2,求AD的长.

【答案】(1)证明详见解析;(2)6.

【解析】

试题分析:(1)连接OD,OE,由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形,再由E为斜边BC的中点,得到DE=BE=DC,再由OB=OD,OE为公共边,利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等,由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直,即可得证;

(2)在直角三角形ABC中,由BAC=30°,得到BC为AC的一半,根据BC=2DE求出BC的长,确定出AC的长,再由C=60°,DE=EC得到三角形EDC为等边三角形,可得出DC的长,由AC﹣CD即可求出AD的长.

试题解析:(1)连接OD,OE,BD,

AB为圆O的直径,

∴∠ADB=BDC=90°,

在RtBDC中,E为斜边BC的中点,

DE=BE,

OBE和ODE中,

OB=OD,OE=OE,BE=DE,

∴△OBE≌△ODE(SSS),

∴∠ODE=ABC=90°,

则DE为圆O的切线;

(2)在RtABC中,BAC=30°,

BC=AC,

BC=2DE=4,

AC=8,

∵∠C=60°,DE=CE,

∴△DEC为等边三角形,即DC=DE=2,

则AD=AC﹣DC=6.

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