Question

【题目】某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

（问题发现）如图1，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，若点E在弧AB上，F是DE上的一点，且DF＝BE．试说明：△ADF≌△ABE；

（变式探究）如图2，若点E在弧AD上，过点A作AM⊥BE，请说明线段BE、DE、AM之间满足等量关系：BE﹣DE＝2AM；

（解决问题）如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点A到BP的距离是﹣1或+1，理由见解析

【解析】

（1）中易证AD＝AB，EB＝DF，所以只需证明∠ADF＝∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；

（2）中易证△AEF是等腰直角三角形，所以AF＝AE，因为AM⊥BE，所以FM＝ME＝AM，EF＝2AM，EF＝BEBF＝BEDE，得出结论；

（3）由PD＝2可得：点P在以点D为圆心，2为半径的圆上；由∠BPD＝90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助（2）中结论，即可解决问题．

（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，

∠ABE与∠ADE都对应弧AE，

∴∠ABE＝∠ADE，

在△ADF和△ABE中，

，

∴△ADF≌△ABE（SAS）；

（2）证明：在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF，

由（1）△ADE≌△ABF，

∴BF＝DE，AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠BAF+∠DAF＝90°，

∴∠DAE+∠DAF＝90°，

∴∠EAF＝90°，

∴△EAF是等腰直角三角形三角形，

∵AM⊥BE，

∴FM＝ME＝AM，

∴EF＝2AM，

∵EF＝BE﹣BF＝BE﹣DE，

∴BE﹣DE＝2AM；

（3）点A到BP的距离是﹣1或+1，

理由如下：

∵PD＝2，

∴点P在以点D为圆心，2为半径的圆上，

∵∠BPD＝90°，

∴点P在以BD为直径的圆上，

∴点P是这两圆的交点，

①当点P在如图3①所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，

过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，

∴BD＝4．

∵DP＝2，

∴BP＝2，

∵∠BPD＝∠BAD＝90°，

∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，

∴∠APB＝∠ADB＝45°，

∴△PAE是等腰直角三角形，

又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，

∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD，

2＝2AH+2，

∴AH＝﹣1；

②当点P在如图3②所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，

过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②，

同理可得：BP＝2AH﹣PD，

2＝2AH﹣2，

∴AH＝+1，

综上所述：点A到BP的距离为﹣1或+1．