Question

6．如图，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，AC切于点D，AD=2，AE=1，连OD．
（1）求OD的长；
（2）求CB的长．

Answer 1

分析 （1）连接DE，根据弦切角定理得到∠ADE=∠ABD，推出△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，代入数据即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到∠ABC=90°，于是得到∠AD0=∠ABC，推出$\frac{AD}{AB}=\frac{OD}{BC}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）连接DE，
∵AC切⊙O于点D，
∴∠ADE=∠ABD，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∵AD=2，AE=1，
∴$\frac{2}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴AB=4，
∴BE=3，
∴OD=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$，；

（2）∵AC切⊙O于点D，
∴∠ADO=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠AD0=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{OD}{BC}$，
即$\frac{2}{4}=\frac{\frac{3}{2}}{BC}$，
∴BC=3．

点评 本题考查了切线的性质，以及相似三角形、勾股定理和切线长定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．