【题目】已知BD是矩形ABCD的对角线,AB=20厘米,BC=40厘米.点P、Q同时从点A出发,分别以2厘米/秒、4厘米/秒的速度由A→B→C→D→A的方向在矩形边上运动,只要Q点回到点A,运动全部停止.设运动时间为t秒.
(1)当点P运动在AB(含B点)上,点Q运动在BC(含B、C点)上时,
①设PQ的长为y,求y关于时间t的函数关系式,并写出t的取值范围?
②当t为何值时,△DPQ是等腰三角形?
(2)在P、Q的整个运动过程中,分别判断下列两种情形是否存在?如果存在,请求出t的值;如果不存在,请说明理由.
①PQ与BD平行;
②PQ与BD垂直.
【答案】(1)①y=(5≤t≤10);②当t=时,△DPQ为等腰三角形;(2)①当t=18秒时,PQ与BD平行;②当t=6秒或t=25时,PQ与BD垂直.
【解析】
(1)①根据勾股定理计算斜边PQ的长,可得y关于时间t的函数关系式,因为点P运动在AB(含B点)上,所以0≤t≤10,因为点Q运动在BC(含B、C点)上,所以5≤t≤15,可得5≤t≤10;
②根据图形可知,只有DP=DQ,根据勾股定理列方程得:,则,解方程可得结论;
(2)①根据平行线分线段成比例定理列比例式得:,则,解方程可得结论;
②存在两种情况:
当点P在AB上,点Q在BC上,如图2,此时PA=2t,BP=20﹣2t,BQ=4t﹣20,由PQ⊥BD易证△PBQ∽△DAB,列比例式可得结论;
当点P在BC上,点Q在DA上,如图3,此时BP=2t﹣20,PC=60﹣2t,DQ=4t﹣80,作辅助线,易证△PMQ∽△DAB,列比例式可得结论.
解:(1)由题意可知:PA=2t,BP=20﹣2t,BQ=4t﹣20
①在Rt△PBQ中,== (5≤t≤10);
②由题意可知PQ的长明显小于DP与DQ的长,因此要使△DPQ为等腰三角形,只需满足DP=DQ,
∴,
∴,
∴解得t=(舍),t=,
∴当t=时,△DPQ为等腰三角形;
(2)①由题意知PQ与BD平行,只能点P在BC上,点Q在DC上,如图1,此时BP=2t﹣20,DQ=80﹣4t,
∵PQ∥BD,
∴,
∴,
∴解得t=18,
∴当t=18秒时,PQ与BD平行;
②由题意知PQ与BD垂直,有两种可能,
当点P在AB上,点Q在BC上,如图2,此时PA=2t,BP=20﹣2t,BQ=4t﹣20,
由PQ⊥BD易证△PBQ∽△DAB,
∴,
∴,
解得t=6,
当点P在BC上,点Q在DA上,如图3,此时BP=2t﹣20,PC=60﹣2t,DQ=4t﹣80,
过点P作PM⊥AD,交AD于M点,QM=DQ﹣PC=6t﹣140,
由PQ⊥BD易证△PMQ∽△DAB,
∴,
∴,
解得t=25,
所以当t=6秒或t=25时,PQ与BD垂直.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B(1,3).
(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1,并写出点A1,B1的坐标;
(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2,并写出点A2,B2的坐标.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球
B.天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的时间会下雨
C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,一定会中奖
D.连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上
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【题目】如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.
(1)求证:△BDG∽△DEG;
(2)若EGBG=4,求BE的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
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【题目】“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售量(件)与销售单价(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
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【题目】如图,AB为⊙O直径,D为弧AC的中点,DG⊥AB于G,交AC于E,AC、BD相交于F.
(1)求证:AE=DE;
(2)若AG=2,DG=4,求AF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过原点O及A(8,0)、C(0,6)作矩形OABC,连接AC,一个直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动(不与A、C重合),且保持一边PD始终经过矩形顶点B,PE交x轴于点Q
(1)=______;
(2)在点P从点C运动到点A的过程中,的值是否发生变化?如果变化,请求出其变化范围,如果不变,请说明理由,并求出其值;
(3)若将△QAB沿直线BQ折叠后,点A与点P重合,则PC的长为_____.
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