Question

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）设x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的两个根，且x₁²+x₂²=9，求a的值．

Answer 1

解：（1）当a-1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；
当a≠1时，由△=b²-4ac≥0，得（2a-3）²-4a（a-1）≥0，
解得a≤，
∵a-1≠0，∴a≠1，
则a的取值范围是a≤且a≠1，
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的两个根，
∴x₁+x₂=，
x₁x₂=．
又∵x₁²+x₂²=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9．
（）²-2×=9．
整理，得7a²-8a=0，
a（7a-8）=0．
∴a₁=0，a₂=（舍去）．
经检验0是方程的根．故a=0．
分析：（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
（2）利用根与系数的关系化简x₁²+x₂²=9，求出a的值．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
本题主要应用根与系数的关系及利用根的判别式确定a值．