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    四边形ABCD中，E是边AB上一点（不与点A，B重合），连接ED，EC，则将四边形ABCD分成三个三角形．若其中有两个三角形相似，则把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；若这三个三角形都相似，则把E叫做四边形ABCD的边AB上的黄金相似点．
    （1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=60°，试判断点E是否为四边形ABCD的边AB上的相似点？并说明理由；
    （2）如图②，在（1）的条件下，若E是AB的中点，
    ①判断点E是否为四边形ABCD的边AB上的黄金相似点？并说明理由；
    ②若AD•BC=18，求AB的长；

    （3）在矩形ABCD中，AB=10，BC=3，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点上，试在图③中画出矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点E．
    考点：相似形综合题,矩形的性质,相似三角形的判定与性质
    专题：新定义
    分析：（1）由条件∠A=∠B=∠DEC=60°可得∠BEC=∠ADE，从而得到△AED∽△BCE，故点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
    （2）①由△AED∽△BCE可得
    AD
    BE
    =
    AE
    BC
    =
    ED
    CE
    ，由E是AB的中点可得AE=BE，从而得到
    AD
    AE
    =
    ED
    CE
    ，进而可以证到△AED∽△ECD，故点E是四边形ABCD的边AB上的黄金相似点．②根据
    AD
    BE
    =
    AE
    BC
    ，AE=BE=
    1
    2
    AB，AD•BC=18就可求出AB的长．
    （3）当AE=1或BE=1时，可以证到△EBC∽△DAE，△DAE∽△CED，从而得到点E是矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点．
    解答：解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
    证明：如图①，

    ∵∠A=∠B=∠DEC=60°，∠DEB=∠A+∠ADE，
    ∴∠BEC+60°=60°+∠ADE．
    ∴∠BEC=∠ADE．
    ∴△AED∽△BCE．
    ∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

    （2）如图②，

    ①点E是四边形ABCD的边AB上的黄金相似点．
    证明：由（1）得△AED∽△BCE．
    则有
    AD
    BE
    =
    AE
    BC
    =
    ED
    CE
    ．
    ∵E是AB的中点，
    ∴AE=BE=
    1
    2
    AB．
    ∴
    AD
    AE
    =
    ED
    CE
    ．
    ∵∠A=∠DEC，
    ∴△AED∽△ECD．
    ∴△AED∽△BCE∽△ECD．
    ∴点E是四边形ABCD的边AB上的黄金相似点．
    ②∵
    AD
    BE
    =
    AE
    BC
    （已证），
    ∴AD•BC=AE•BE．
    ∵AD•BC=18，AE=BE=
    1
    2
    AB．
    ∴18=（
    1
    2
    AB）2．
    ∴AB=6
    		2
    ．
    ∴AB的长为6
    		2
    ．

    （3）①在AB上取一点E，使得AE=1，点E就是矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点，如图③，

    理由如下：
    连接DE、CE．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠A=∠B=90°，AD=BC．
    ∵AB=10，BC=3，AE=1，
    ∴EB=9，AD=3．
    ∴
    EB
    BC
    =3=
    AD
    AE
    ．
    ∴△EBC∽△DAE．
    ∴
    EC
    DE
    =
    BC
    AE
    ，∠BEC=∠ADE．
    ∵AD=BC，
    ∴
    EC
    DE
    =
    AD
    AE
    ．
    ∵∠A=90°，
    ∴∠ADE+∠AED=90°．
    ∴∠BEC+∠AED=90°．
    ∴∠DEC=90°．
    ∴∠A=∠DEC．
    ∴△DAE∽△CED．
    ∴△EBC∽△DAE∽△CED．
    ∴点E是矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点．
    ②在AB上取一点E，使得BE=1，点E就是矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点，如图③′，

    理由如下：
    连接DE、CE．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠A=∠B=90°，AD=BC．
    ∵AB=10，BC=3，BE=1，
    ∴AE=9，AD=3．
    ∴
    EB
    BC
    =
    1
    3
    =
    AD
    AE
    ．
    ∴△EBC∽△DAE．
    ∴
    EC
    DE
    =
    BC
    AE
    ，∠BEC=∠ADE．
    ∵AD=BC，
    ∴
    EC
    DE
    =
    AD
    AE
    ．
    ∵∠A=90°，
    ∴∠ADE+∠AED=90°．
    ∴∠BEC+∠AED=90°．
    ∴∠DEC=90°．
    ∴∠A=∠DEC．
    ∴△DAE∽△CED．
    ∴△EBC∽△DAE∽△CED．
    ∴点E是矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点．
    点评：本题在新定义下考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，还考查了操作能力、阅读能力及自主探究的能力，是一道以能力立意的好题．
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    1
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    1
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    x+2
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