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【题目】如图,A、F、B、C是半圆O上的四个点,四边形OABC是平行四边形,∠FAB=15°,连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.

(1)求证:CD是半圆O的切线;

(2)若DH=,求EF和半径OA的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)EF=,r=2

【解析】

试题分析:(1)连接OB,根据已知条件得到△AOB是等边三角形,得到∠AOB=60°,根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°,根据平行线的性质得到OC⊥CD,由切线的判定定理即可得到结论;

(2)根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°,解直角三角形得到BD=BC=AB,推出AE=AD,根据相似三角形的性质得到,求得EF=,根据直角三角形的性质即可得到结论.

试题解析:(1)连接OB,∵OA=OB=OC,∵四边形OABC是平行四边形,∴AB=OC,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵∠FAD=15°,∴∠BOF=30°,∴∠AOF=∠BOF=30°,∴OF⊥AB,∵CD∥OF,∴CD⊥AD,∵AD∥OC,∴OC⊥CD,∴CD是半圆O的切线;

(2)∵BC∥OA,∴∠DBC=∠EAO=60°,∴BD=BC=AB,∴AE=AD,∵EF∥DH,∴△AEF∽△ADH,∴,∵DH=,∴EF=,∵OF=OA,∴OE=OA﹣(),∵∠AOE=30°,∴=,解得:OA=2.

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成绩(分)

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60

70

80

90

100

人数

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5

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A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④

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