Question

3．如图，经过原点的两条直线l₁、l₂分别与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限，设A点坐标为（3，1）．
（1）求k值及B点坐标；
（2）若P点坐标为（a，3），求a值及四边形APBQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据分别反比例图象上点的坐标特征得到k=3×1=3，再根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点A与点B关于原点对称，则B点坐标为（-3，-1）；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a=1，即P点坐标为（1，3），再根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点P与点Q关于原点对称，所以点Q的坐标为（-1，-3），由于OA=OB，OP=OQ，则根据平行四边形的判定得到四边形APBQ为平行四边形，然后根据两点间的距离公式计算出AB，PQ，可得到即AB=PQ，于是可判断四边形APBQ为矩形，再计算出PA和PB，然后计算矩形APBQ的面积．

解答 解：（1）把A（3，1）代入=$\frac{k}{x}$得k=3×1=3，
∵经过原点的直线l₁与双曲线=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A、B、
∴点A与点B关于原点对称，
∴B点坐标为（-3，-1）；
（2）把P（a，3）代入y=$\frac{3}{x}$得3a=3，解得a=1，
∵P点坐标为（1，3），
∵经过原点的直线l₂与双曲线=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于P、Q点，
∴点P与点Q关于原点对称，
∴点Q的坐标为（-1，-3），
∵OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PQ²=（1+1）²+（3+3）²=40，
∴AB=PQ，
∴四边形APBQ为矩形，
∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3-1）²+（1-3）²=8，
∴PB=4$\sqrt{2}$，PQ=2$\sqrt{2}$，
∴四边形APBQ的面积=PA•PB=2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=16．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数图象与反比例函数图象的性质、中心对称的性质、矩形的性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长．