Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点N，若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D（﹣1，﹣1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外称点是　 　；

②若点M（m，n）为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G，求m的取值范围；

（2）直线y＝﹣x+b过点A（1，1），与x轴交于点B．⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①D，E；②＜m＜；（2）﹣1＜t＜2﹣或3＜t＜1+2．

【解析】

（1）①根据⊙O的外应点的定义，画出图形即可判断；

②作射线GO，交⊙O于点H（﹣，﹣），作点H关于点G的对称点H'（，），由点M为⊙O的外应点，推出点M在线段GH'上（不与G，H'重合），由此即可解决问题；

（2）求出四种特殊位置t的值即可判断.

（1）①如图1中，

根据点P是⊙O的外应点定义，观察图象可知，⊙O的外应点是D，E．

故答案为D，E．

②如图2中，作射线GO，交⊙O于点H（﹣，﹣），

作点H关于点G的对称点H'（，），

∵点M为⊙O的外应点，

∴点M在线段GH'上（不与G，H'重合）．

∴＜m＜．

（2）由题意A（1，1），∵直线y＝﹣x+b过点A（1，1），

∴b＝2，可得B（2，0）

如图3中，当半径为3的⊙T经过点B时，T（﹣1，0）

如图4中，当半径为1的⊙T与AB相切于F时，易知TF＝FB＝1，TB＝，

∴OT＝2﹣，

∴T（2﹣，0）

观察图象可知：当﹣1＜t＜2﹣时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点；

如图5中，当半径为1的⊙T经过点B时，T（3，0），

如图6中，当半径为3的⊙T经过点A时，易知T（1+2，0）

观察图象可知：当3＜t＜1+2时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点，

综上所述，满足条件的t的值为：﹣1＜t＜2﹣或3＜t＜1+2．