Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝5，AC＝2，D是BC边上的动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接EC．

（1）如图a，求证：CE⊥BC；

（2）连接ED，M为AC的中点，N为ED的中点，连接MN，如图b．

①写出DE、AC，MN三条线段的数量关系，并说明理由；

②在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，M，E两点之间的距离最小？最小值是　 　，请直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①MN2+AC2＝DE2，见解析；②当BD＝2时，EM的值最小，1.

【解析】

（1）过点A作AH⊥AC交BC于H，如图1，易证△AHC是等腰直角三角形，由SAS可证△HAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠AHD＝45°，即可证得结论；

（2）①连接AN，CN，由直角三角形的性质可得AN＝CN＝DE，由等腰三角形的性质可得MN⊥AC，CM＝AC，然后由勾股定理可得结论；

②由（1）知∠ECB＝90°，根据垂线段最短可知：当ME⊥EC时，ME的值最小，然后根据等腰直角三角形的判定和性质即可求出ME的长，再结合已知和（1）的结论依次求出HC、HD、CD的长，即可求得BD的长．

解：（1）证明：过点A作AH⊥AC交BC于H，如图1，

∵∠ACB＝45°，AH⊥AC，

∴∠AHC＝∠ACB＝45°，

∴AH＝AC，

∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，

∴AD＝AE，∠HAC＝∠DAE＝90°，

∴∠HAD＝∠CAE，

∴△HAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠AHD＝45°，

∴∠HCE＝90°，

∴CE⊥BC；

（2）①MN2+AC2＝DE2.理由如下：连接AN，CN，如图2，

∵∠EAD＝∠ECD＝90°，点N是DE中点，

∴AN＝CN＝DE，

∵M为AC的中点，

∴MN⊥AC，AM＝CM＝AC，

∵MN2+CM2＝CN2，

∴MN2+AC2＝DE2；

②如图3中，由（1）可知∠ECB＝90°，

∴CE⊥BC，

∴当ME⊥EC时，ME的值最小，

在Rt△AHC中，∵AH＝AC＝2，

∴HC＝4，

∵M为AC中点，

∴AM＝MC＝，

在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，

∴EC＝EM＝1，

由（1）可知：△HAD≌△CAE，

∴HD＝EC＝1，

∴CD＝4﹣1＝3，

∴BD＝5﹣3＝2，

∴当BD＝2时，EM的值最小，最小值为1，

故答案为：1.