Question

【题目】如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E，若AB＝6，

（1）BC＝_____；

（2）△AEC的面积为_____．

Answer 1

【答案】2， 4

【解析】

（1）根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，即可求出BC的长；

（2）在（1）的条件下，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．

（1）∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，

∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，

∵AB＝6，

∴BC＝AB＝2，

（2）∵∠DAC＝60°，

∴∠DAD′＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴∠EAC＝∠ACD＝30°，

∴AE＝CE，

在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，则有

DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣x，AD＝×6＝2，

根据勾股定理得：x2＝（6﹣x）2+（2）2，

解得：x＝4，

∴EC＝4，

则S△AEC＝ECAD＝4．

故答案为：2；4．