Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE=，AB=，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AE=1.5

【解析】

（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；

（2）设AE=x．根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解．

（1）连结AD

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∵AB=AC，

∴DC=DB．

∵OA=OB，

∴OD∥AC．

∴∠OFB=∠AEB=90°，

∴OD⊥BE．

（2）设AE=x，

∵OD⊥BE，

∴可得OD是BE的中垂线，

∴DE=DB，

∴∠1=∠2，

∴BD=ED=，

∵OD⊥EB，

∴FE=FB．

∴．

在Rt△DFB中，；

在Rt△OFB中，；

∴．

解得x＝，即AE＝．