Question

【题目】如图，在中，是内心，，是边上一点，以点为圆心，为半径的经过点，交于点.

（1）求证：是的切线；

（2）连接，若，，求圆心到的距离及的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）点到的距离是1，的长度

【解析】

（1）连接OI，延长AI交BC于点D，根据内心的概念及圆的性质可证明OI∥BD，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质可证明∠AIO=90°，从而得到结论；

（2）过点O作OE⊥BI，利用垂径定理可得到OE平分BI，再根据圆的性质及中位线的性质即可求出O到BI的距离；根据角平分线及圆周角定理可求出∠FOI=60°，从而证明△FOI为等边三角形，最后利用弧长公式进行计算即可.

解：（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI，

∵I是△ABC的内心，

∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC，

∴∠1=∠3，

又∵OB=OI，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠2，

∴OI∥BD，

又∵AB=AC，

∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，

∴∠AIO=∠ADB=90°，

∴AI为的切线；

（2）作OE⊥BI，由垂径定理可知，OE平分BI，

又∵OB=OF，

∴OE是△FBI的中位线，

∵IF=2，

∴OE=IF==1，

∴点O到BI的距离是1，

∵∠IBC=30°，

由（1）知∠ABI=∠IBC，

∴∠ABI =30°，

∴∠FOI=60°，

又∵OF=OI，

∴△FOI是等边三角形，

∴OF=OI=FI=2，

∴的长度.