Question

【题目】已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点.

（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标；

（2）若点是轴上方抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连结.设点的横坐标为.

①试用含的代数式表示的长；

②直线能否把分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由.

（3）如图2，若点也在此抛物线上，问在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），顶点坐标为：；（2）①；②能，理由见解析，点的坐标为；（3）存在，点Q的坐标为：或.

【解析】

（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；

（2）①先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再设出点D、E的坐标，然后分点D在y轴右侧和y轴左侧利用或列式化简即可；

②根据题意容易判断：点D在y轴左侧时，不存在这样的点；当点D在y轴右侧时，分或两种情况，设出E、F坐标后，列出方程求解即可；

（3）先求得点M、N的坐标，然后连接CM，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，即可判断∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，所以另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，然后根据圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出CQ的长，进而可得结果.

解：（1）∵抛物线与轴交于点，

∴设抛物线的表达式为：，

把点代入并求得：，

∴抛物线的表达式为：，

即，∴抛物线的顶点坐标为：；

（2）①设直线的表达式为：，则，解得：，

∴直线的表达式为：，

设，则，

当时，∴，

当时，，

综上：，

②由题意知：当时，不存在这样的点；

当时，或，

∵，∴，

∴，解得（舍去），∴，

或，解得（舍去），（舍去），

综上，直线能把分成面积之比为1：2的两部分，且点的坐标为；

（3）∵点在抛物线上，∴，∴，

连接MC，如图，∵C（0，6），M（1，6）∴MC⊥y轴，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，∵N（2，4），∴CG=NG=2，∴△CNG是等腰直角三角形，∴∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，∴另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，连接HN，

∵，∴MN=，CM=1，

∵，∴∠MHN=90°，则半径MH=NH=，

∵∠MCQ=90°，∴MQ是直径，且，∴，

∵OC=6，∴OQ=3，∴Q（0，3）；

综上，在轴上存在点，使，且点Q的坐标为：或.