Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0（a＞0）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α₁和β₁，α₂和β₂，α₃和β₃，…，α₂₀₁₀和β₂₀₁₀，α₂₀₁₁和β₂₀₁₁，试求(

1

α1

+

1

α2

+

1

α3

+…+

1

α2010

+

1

α2011

)+(

1

β1

+

1

β2

+

1

β3

+…+

1

β2010

+

1

β2011

)的值．

Answer 1

分析：（1）设方程的两根是α₁，β₁，得出α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a，代入（α₁-2）（β₁-2），=α₁β₁-2（α₁+β₁）+4，求出其结果是-a²-a，求出-a²-a＜0即可；
（2）得出α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a=-a（a+1），把(

1

α1

+

1

α2

+

1

α3

+…+

1

α2010

+

1

α2011

)+(

1

β1

+

1

β2

+

1

β3

+…+

1

β2010

+

1

β2011

)变形为

α1+β1

α1β1

+

α2+β2

α2β2

+

α3+β3

α3β3

+…+

α2011+β2011

α2011β2011

，代入后得出-2×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

），推出-2×（1-

1

2012

），求出即可．

解答：（1）证明：设方程的两根是α₁，β₁，
则α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a，
∴（α₁-2）（β₁-2）
=α₁β₁-2（α₁+β₁）+4
=-a²-a-2×2+4
=-a²-a，
∵a＞0，
∴-a²-a＜0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．

（2）解：∵α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a=-a（a+1）
∵对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α₁和β₁，α₂和β₂，α₃和β₃，…，α₂₀₁₀和β₂₀₁₀，α₂₀₁₁和β₂₀₁₁，
∴(

1

α1

+

1

α2

+

1

α3

+…+

1

α2010

+

1

α2011

)+(

1

β1

+

1

β2

+

1

β3

+…+

1

β2010

+

1

β2011

)
=

1

α1

+

1

β1

+

1

α2

+

1

β2

+

1

α3

+

1

β3

+…+

1

α2010

+

1

β2010

+

1

α2011

+

1

β2011

=

α1+β1

α1β1

+

α2+β2

α2β2

+

α3+β3

α3β3

+…+

α2011+β2011

α2011β2011

=

2

-1×2

+

2

-2×3

+

2

-3×4

+…+

2

-2011×2012

=-2×（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

）
=-2×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

）
=-2×（1-

1

2012

）
=-

2011

1006

．

点评：本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α₁-2）（β₁-2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度．