Question

13．如图，在等腰△ABC中，AB=BC=4，点O是AB的中点，∠AOC=60°，点P是射线CO上的一个动点，若当△PAB为直角三角线时，试画出可能的图形（两种即可），并求出相应图形中的AP的长．

Answer 1

分析 利用分类讨论，当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：易得∠PAB=30°，利用锐角三角函数得AP的长；情况二：如图2，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论；当∠ABP=90°时，如图3易得BP，利用勾股定理可得AP的长；．

解答 解：当∠APB=90°时，分两种情况．
情况一：如图1，
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
情况二：如图2，
∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
当∠ABP=90°时，如图3，
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，
在直角三角形ABP中，
AP=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
综上所述，AP的长为2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{7}$或2．

点评 本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，利用分类讨论，数形结合是解答此题的关键．