Question

2．如图，已知抛物线与x轴交于点A（2，0），B（-4，0），与y轴交于C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标．
（2）设直线CD交x轴于点E，线段OB的垂直平分线交直线CD于Q．问，线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使点P到直线CD的距离PM等于点P到原点的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点，试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+4）（x-2），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式为，再把解析式配成顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）设P（-2，t），利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=-x+8，则可得到E点和Q点坐标，于是可△OCE为等腰直角三角形得到∠OCE=45°，接着判断△PQM为等腰直角三角形得到PQ=$\sqrt{2}$PM，然后利用PQ=|10-t|，PM=PO=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$建立方程|10-t|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+{t}^{2}}$解方程求出t即可得到P点坐标；
（3）先确定F（-4，12），设平移后的抛物线解析式为y=-x²-2x+8+m，当方程-x²-2x+8+m=-x+8有相等实数解时，平移后的抛物线与线段EF只有一个公共点，则利用判别式判别式的意义可解出m=-$\frac{1}{4}$，再分别计算平移的抛物线过点E和F所对应的m的值，然后根据抛物线的几何变换可判断抛物线向上最多可平移的单位长度和向下最多可平移的单位长度．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
把C（0，8）代入得a•4•（-2）=8，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+4）（x-2），即y=-x²-2x+8，
因为y=-（x+1）²+9，
所以顶点D的坐标为（-1，9）；
（2）存在．
线段OB的垂直平分线为直线x=-2，设P（-2，t），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，8），D（-1，9）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{-k+b=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
所以直线CD的解析式为y=-x+8，
当x=-2时，y=-x+8=10，则Q（-2，10），
当y=0时，-x+8=0，解得x=8，则E（8，0），
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴∠OCE=45°，
∵PQ∥OC，
∴∠PQE=∠OCE=45°，
而PM⊥CD于M．
∴△PQM为等腰直角三角形，
∴PQ=$\sqrt{2}$PM，
∵PQ=|10-t|，PM=PO=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$，
∴|10-t|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+{t}^{2}}$，
整理得t²+20t-92=0，解得t₁=-10+8$\sqrt{3}$，t₂=-10-8$\sqrt{3}$，
∴满足条件的P点坐标为（-2，-10+8$\sqrt{3}$）或（-2，-10-8$\sqrt{3}$）；
（3）当x=-4时，y=-x+8=12，则F（-4，12），
设平移后的抛物线解析式为y=-x²-2x+8+m，
当方程-x²-2x+8+m=-x+8，即x²+x-m=0有相等实数解时，平移后的抛物线与线段EF只有一个公共点，所以△=1²-4（-m）=0，解得m=-$\frac{1}{4}$；
当抛物线过点E（8，0）时，-64-16+8+m=0，解得m=72，
当抛物线过点F（-4，12）时，-16+8+8+m=12，解得m=12，
所以抛物线向上最多可平移72个单位长度，向下最多可平移$\frac{1}{4}$个单位长度．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用等腰直角三角形的性质进行几何计算；利用抛物线的几何变换．