Question

17．如图：在△ABE中，点C是BE边上的一点，连接AC，已知AD是∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB边于点F．
（1）求证：△EAF≌△EDF；
（2）求证：DF∥AC；
（3）判断∠EAC与∠B相等吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据线段垂直平分线的性质得出AF=DF，AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得出AF=DF，由等边对等角得到∠FAD=∠FDA，再根据角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，等量代换得出∠ADF=∠CAD，再根据内错角相等两直线平行即可证明DF∥AC；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠ADE，由外角的性质得到∠B+∠BAD=∠EAC+∠DAC，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，AE=DE，
在△AEF与△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AF=DF}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EDF；

（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；

（3）∠EAC=∠B，
∵AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴∠B+∠BAD=∠EAC+∠DAC，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定等知识点的运用，难度适中，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．