Question

14．如图，在矩形ABCD中．AB=3，BC=4，沿EF折叠，折痕为EF，使C点落到A点处，点D落到G处．
（1）求证：AE=AF；
（2）求AE的长；
（3）求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF；
（2）设BE=x，表示出CE=4-x，根据AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，得出AE即可；
（3）过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵翻折，
∴∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF；
（2）设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE=CE=4-x，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
即3²+x²=（4-x）²，
解得x=$\frac{7}{8}$，
∴AE=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$，
（3）如图，

过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=3，
AH=BE=$\frac{7}{8}$，
∴FH=AF-AH=$\frac{25}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$，
在Rt△EFH中，EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．