Question

3．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=1，ED=2．
（1）求AB的长．
（2）延长DB到F，使得BF=BO，求证：直线FA与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性质可求得AB的长；
（2）连接OA，在Rt△ABD中可求得BD，可证明△AOB为等腰三角形，结合BF=BO可证明∠OAF=90°，证得结论．

解答 （1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB，∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵AE=1，DE=2，
∴AD=AE+DE=3，
∴$\frac{AB}{3}$=$\frac{1}{AB}$，解得AB=$\sqrt{3}$；
（2）证明：如图，连接OA，

∵BD为直径，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=BO=AO，
∴∠BAO=60°，
∵BF=BO，
∴BF=AB，
∴∠BAF=∠F=$\frac{1}{2}$∠OBA=30°，
∴∠OAF=∠OAB+∠BAF=90°，
又∵∠ADB=∠AOB，
∴直线FA与⊙O相切．

点评 本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．